위상 정렬 이란? ( + 관련 문제)

위상 정렬이란?

• 진입차수와 진출차수
• 위상정렬 알고리즘 동작 흐름
• 위상정렬 알고리즘 동작 과정 예시
• 위상정렬 특징
• 위상정렬 구현

 

관련 문제

 

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위상 정렬이란?

위상 정렬은 정렬 알고리즘의 일정

사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드의 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것

 

위 세 과목을 모두 듣기 위한 적절한 학습 순서는?

• 자료구조 → 알고리즘 → 고급 알고리즘 (O)
• 자료구조 → 고급 알고리즘 → 알고리즘 (X)

 

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진입차수와 진출차수

진입차수(Indegree): 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수

진출차수(Outdegree): 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수

 

 

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위상 정렬 알고리즘 동작 흐름 과정 (queue를 사용)

 

A. 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.

B. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다

1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다
2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다

결과적으로 각 노드가 큐에 입/출하는 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 동일

 

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위상정렬 동작 예시

전제 조건: 사이클이 없는 방향 그래프(DAG) 여야 함.

 

[초기 단계]

진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다

처음에 노드 1이 큐에 삽입된다

 

[Step 1]

큐에서 노드 1을 꺼낸 뒤에 노드 1에서 나가는 간선을 제거한다

새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다

 

 

[Step 2]

큐에서 노드 2를 꺼낸 뒤에 노드 2에서 나가는 간선을 제거한다

새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다

 

 

[Step 3]

큐에서 노드 5를 꺼낸 뒤에 노드 5에서 나가는 간선을 제거한다

새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다

 

[Step 4]

큐에서 노드 3를 꺼낸 뒤에 노드 3에서 나가는 간선을 제거한다

새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다

 

 

[Step 5]

큐에서 노드 6을 꺼낸 뒤에 노드 6에서 나가는 간선을 제거한다

새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다

 

[Step 6]

큐에서 노드 4를 꺼낸 뒤에 노드 4에서 나가는 간선을 제거한다

새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다

 

 

[Step 7]

큐에서 노드 7을 꺼낸 뒤에 노드 7에서 나가는 간선을 제거한다

새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다

 

 

[위상 정렬 결과]

큐에 삽입된 전체 노드 순서: 1 → 2 → 5 → 3 → 6 → 4 → 7

 

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위상 정렬의 특징

 

• 위상 정렬은 순환하지 않는 방향 그래프(DAG)에서만 수행할 수 있다.
• 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다. (서로소 집합 사이클 검토 참고)
• 스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬 구현이 가능하다.
• 위상 정렬의 정답은 여러 가지 형태로 존재할 수 있다. 
  • (같은 레벨에 존재하는 노드라면 서로 누가 먼저 방문하는지가 의미가 없기 때문)

 

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위상 정렬 구현

 

# 위상 정렬

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()

 

# 입력 예시
7 8
1 2
1 5
2 3
2 6
3 4
4 7
5 6
6 4

 

# 출력 예시
1 2 5 3 6 4 7

 

 

 

관련 문제 및 문제풀이

[이코테] 커리큘럼 (파이썬, 위상정렬)