서로소 집합 자료구조

서로소 집합 이란?

• 일반적인 서로소 집합 자료구조
• 경로 압축
• 사이클 판별

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서로소 집합(Disjoint Sets) 이란?

공통 원소가 없는 두 집합

 

 

서로소 집합 자료구조란 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조

서로소 집합 자료구조는 합치기 찾기(Union Find) 자료구조라고 불리고 한다.

 

서로소 집합 자료구조는 두 종류의 연산으로 나누어짐

1. 합집합(Union): 두 개의 원소가 포함된 하나의 집합으로 합치는 연산

2. 찾기(Find): 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산

 

 

여러 개의 합치기 연산이 주어졌을 때 서로소 집합 자료구조의 동작 흐름은 다음과 같음.

1. 합집합 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A,B를 확인

• A와 B의 루트 노드 A',B'를 각각 찾음
• A'를 B'의 부모 노드로 설정

 

2. 모든 합집합 연산을 처리할 때 까지 1번의 가정을 반복

 

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일반적인 서로소 집합 자료구조

 

동작과정 살펴보기

처리할 연산들은 Union(1,4), Union(2,3), Union(2,4), Union(5,6) 이고

노드는 6개가 있다는 가정으로 살펴본다.

 

 

0. 초기단계

노드의 크기만큼의 부모 테이블을 초기화

 

처리할 연산들: Union(1,4), Union(2,3), Union(2,4), Union(5,6)

 

1. Step1 - Union(1,4)

노드 1과 노드 4의 부모 노드를 각각 찾은 뒤, 노드 4의 부모 노드를 1로 설정.

(관행적으로 작은 노드를 부모로 설정함)

 

처리할 연산들:  Union(1,4), Union(2,3), Union(2,4), Union(5,6) 

 

2. Step2 - Union(2,3)

노드 2와 노드 3의 부모 노드를 찾은 뒤, 노드 3의 부모 노드를 2로 설정.

 

처리할 연산들:  Union(1,4), Union(2,3), Union(2,4), Union(5,6) 

 

3. Step3 - Union(2,4)

노드 2와 노드 4의 부모 노드를 찾은 뒤, 노드 2의 부모 노드를 1로 설정.

 

처리할 연산들:  Union(1,4), Union(2,3), Union(2,4), Union(5,6) 

 

4. Step 4 - Union(5,6)

노드 5와 노드 6의 부모 노드를 찾은 뒤, 노드 6의 부모 노드를 5로 설정.

 

처리할 연산들:  Union(1,4), Union(2,3), Union(2,4), Union(5,6) 

# 일반적인 서로소 집합

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return x

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')

 

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경로 압축

 

Find 함수를 살펴보자.

#특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    #루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

기본적인 형태의 서로소 집합 자료구조에서는 부모 노드에 즉시 접근할 수가 없다.

예를 들어, 3번 노드의 부모 노드를 확인하려면 3->2->1 순으로 접근을 해야된다.

최악의 경우에는 시간복잡도가 O(v)가 되기 때문에 경로 압축(Path Compression)을 이용할 수 있다.

 

Find 함수에서 재귀적으로 호출한 뒤 부모 테이블 값을 바로 갱신하면 된다.

# 경로 압축 find 함수

#특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    #루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
    	# 재귀 호출 후 바로 갱신
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

 

 

 

# 경로 압축한 서로소 집합

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')

 

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서로소 집합을 활용한 사이클 판별

서로소 집합 자료구조은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 수 있다 

cf) 참고로 방향 그래프는 DFS 를 이용해 판별 가능

 

사이클이 있는 것과 없는 것

사이클 판별 알고리즘 흐름은 다음과 같음.

1. 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 부모 노드를 확인

• 부모 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대해서 합집합 연산 수행
• 부모 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle) 발생

 

2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대해서 1번 과정을 수행

 

 

동작 과정 살펴보기

 

 

# 사이클 판별

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

cycle = False # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생한 경우 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
        cycle = True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
    else:
        union_parent(parent, a, b)

if cycle:
    print("사이클이 발생했습니다.")
else:
    print("사이클이 발생하지 않았습니다.")